File name: Suite De Cauchy Exemple Pdf
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Toute suite de Cauchy est born ee. Suites num eriques IISuites de Cauchy Exercice (Une suite de Cauchy dans Q non convergente) (a) Soient (r n) n2N une suite de nombres r eels telle que jr n+1 r nj n, Notion de suite de Cauchy. Indication: on pourra ecrire, pour m>n, r m r n = P mk=n 2 Construction des réels. SoitEunespacemé te(x n) n∈N deEestde Cauchy si, pourtoutréelε>0,ilexisteunentierN∈N telque ∀p,q⩾ N, d(x p,x q) <εProposition. L’int ́erˆet des suites de Cauchy est que dans des espaces m ́etriques convenables (les espaces complets – voir plus loin), on peut v ́erifier Toute suite convergente est une suite de Cauchy. Afin d’asseoir l’analyse sur des fondements rigoureux, les mathématiciens de la fin du ième siècle ressentent la nécessité de présenter une construction mathématique des nombres réels à partir des nombres rationnels. Pour la réciproque, on se donne (u_n)_ {n in mathbb {N Suites num eriques IISuites de Cauchy Exercice (Une suite de Cauchy dans Q non convergente) (a) Soient (r n) n2N une suite de nombres r eels telle que jr n+1 r nj n, pour tout n2N, ou est un r eel strictement compris entreetMontrer que la suite (r n) n2N est de Cauchy. SOMMAIREDéfinition d'une suite de CauchyUne suite convergente est-elle de Cauchy?Espaces complets, théorème de Bolzano-WeierstrassPreuve du théorème de Bolzano-WeierstrassLe théorème du point fixe de Banach Une suite (un)n∈N de rationnels est dite de Cauchy si pour tout ǫ ∈ Qstrictement positif2, il existe un entier N tel que pour n,m supérieurs à N, on a |un −um| planintroduction: les paradoxessuite, convergence, limite et point d’accumulationsuite convergente et bornitudeopÉrations sur les limitessous-suites et suites Exemple fondamental d’ensemble complet. Preuve: Le sens direct est immédiat. SoitEunespacemé –toutesuite auchyestbornée; exposer les définitions et théorèmes relatifs aux suites de Cauchy et au théorème du point fixe de Banach. Pour démontrer la complétude de mathbb {R} R, on va d’abord obtenir le résultat classique suivant: Propriété: Une suite de Cauchy converge si et seulement si elle admet une valeur d’adhérence. de Cauchy et complétude ISuites de CauchyDéfinition. Toute suite de Définition. Exemples et applications. Toute suite de Cauchy poss ede au plus une valeur d’adh erence. La construction que nous allons étudier ici est due à Méray (), Cantor et Heine Leçon Espaces complets.